در سال ‪ ۲۰۰۱دو تن از دانشجويان او يعني كايال و سكسنا به يك نكته بسيار حساس و فني توجه كردند. ابتدا اين مساله سبب شد تا گروه سه نفره در آبهاي عميق نظريه اعداد غوطه ور شوند، اما اندك اندك برايشان روشن شد كه تنها يك مانع در راه تكميل روشي جهت آزمودن دقيق و سريع اعداد اول وجود دارد. مانع از اين قرار بود كه روش آنان تنها در صورتي كار مي‌كرد كه عدد اول مورد نظر كه با ‪ pنمايش داده مي‌شود همواره در محدوده خاصي جاي داشته باشد كه با اعدادي كه در آزمون شركت داده مي‌شوند مرتبط باشد. مشخصه ويژه اين مانع آن است كه عدد " ‪ p-1 " بايد يك مقسوم عليه يا بخشياب بسيار بزرگ باشد. گروه سه نفر رياضي دانان هندي براي غلبه بر مشكل به هر دري زدند و با بررسي مقالات مختلف بالاخره دريافتند كه در سال ‪ ۱۹۸۵يك رياضي‌دان فرانسوي به نام اتن فووري از دانشگاه پاريس ‪ ۱۱اين نكته را به صورت رياضي اثبات كرده است. به اين ترتيب آخرين بخش معما حل شد و آلگوريتم پيشنهادي اين سه نفر با موفقيت پا به عرصه گذارد. اما اين موفقيت "مشروط" بود. به اين معني كه اين روش براي اعداد اولي كه انسان در حال حاضر مي‌توان به سراغ آنها برود از كارآيي چنداني برخوردار نيست. در روايت اوليه روش پيشنهادي، زمان لازم براي محاسبات كه متناسب با ارقام عدد اول مورد نظر بود، با آهنگ ‪ ۱۰۱۲ازدياد پيدا مي كرد. در روايتهاي بهبود يافته اخير اين روش، سرعت ازدياد زمان لازم براي محاسبات به ‪ ۱۰۷.۵كاهش يافته اما حتي در اين حالت نيز اين روش در مقايسه با روش آ پي آر تنها در هنگامي موثر تر خواهد بود كه تعداد ارقام عدد اولي كه قصد شكار و يافتن آن را داريم در حدود ‪ ۱۰۱۰۰۰باشد. اعدادي تا اين اندازه بزرگ در حافظه هيچ كامپيوتر جاي نمي‌گيرند و حتي آن را نمي‌توان در كل كيهان جاي داد. اما حال كه رياضي دانان توانسته‌اند يك طبقه خاص از آلگوريتمهاي تواني را براي شناسايي اعداد اول مشخص كنند، اين امكان پديد آمده كه به دنبال نمونه‌هاي بهتر اين روش بگردند. پومرانس و هندريك لنسترا از دانشگاه كاليفرنيا در بركلي با تلاش در همين زمينه توانسته‌اند زمان لازم براي محاسبات را از توان ‪ ۷.۵به توان ‪ ۶كاهش دهند. اين دو از همان استراتژي كلي گروه هندي موسسه كانپور استفاده كردند اما تاكتيهاي ديگري را به كار گرفتند. اگر فرضيه‌هاي ديگري كه درباره اعداد اول مطرح شده درست از كار درآيد آنگاه مي‌توان زمان محاسبه را از توان ‪ ۶به توان ‪ ۳تقليل داد كه در اين حد اين روش كارآيي عملي پيدا خواهد كرد. در اين حالت يافتن اعداد اول با ‪ ۱۰۰۰رقم يا بيشتر به بازي كودكان بدل خواهد شد. اما در نظر رياضي‌دانان مهمترين و جالبترين جنبه كار گروه سه نفره آ ك اس (كانپ.ر) روشي است كه آنان به كار گرفته‌اند. اعداد اول براي رياضيات از اهميت بنيادين برخوردارند و هر نوع غفلت در فهم ويژگيهاي آنها باعث مي‌شود خللهاي بزرگ در بناي رياضيات پديدار شود. روش اين سه رياضي دان هندي هرچند اين خللها و نقصها را پر نكرده حداقل به رياضي دانان گفته است كه در كجا به دنبال اين خللها بگردند. آلگوريتم پيشنهادي اين سه محقق و همه انواع بديلي كه بر اساس آن ساخته شده متكي به وجود اعداد اولي با مشخصه هاي ويژه هستند. و در اغلب موارد استفاده از اين روش مستلزم آن است كه رياضي دانان اطلاعات دقيقي از نحوه توزيع اين قبيل اعداد اول خاص در ميان ديگر اعداد به دست آورند و به اين ترتيب جغرافياي مكاني اعداد اول را مشخص سازند. روش پيشنهادي آ ك اس به رياضي دانان اين نكته را آموخته كه ويژگيهاي اين جغرافياي مكاني حائز اهميت است و نيز اين كه هنوز دانش كافي در اين زمينه به دست نيامده است. در گذشته و در زماني كه نظريه اعداد تنها مورد توجه يك گروه كوچك از رياضي دانان بود ، اين مساله چندان اهميتي نداشت. اما در ‪ ۲۰سال گذشته اعداد اول موقعيتي استثنايي در عرصه رمز نگاري و دانش طراحي و شكستن رمزها كسب كرده اند. رمزها صرفا از نظر نظامي و جاسوسي حائز اهميت نيستند بلكه از آنها در عرصه هاي تجاري و نيز فعالييتهاي اينترنتي در مقياس وسيع استفاده به عمل مي‌آيد. هيچ كس نمي‌خواهد كه راهزنان اينترنتي به اطلاعات شخصي مربوط به حسابهاي بانكي يا شماره كارتهاي اعتباري آنان دست يابد. هم اكنون دزدي مشخصات شناسنامه اي افراد و جعل هويت آنان به صورت يكي از بزرگترين قلمروهاي فعالييتهاي تبهكارانه در سطح بين‌المللي در آمده است. سازندگان كامپيوترها و ارائه‌دهندگان خدمات اينترنتي با توجه به آنكه در حال حاضر افراد بسياري از فعاليتهاي خود را از طريق اينترنت انجام مي دهند، نظير اينكه پول قبضهاي برق و آب و تلفن خود را مي‌پردازند يا در كلاسهاي مورد نظر ثبت نام مي‌كنند، يا بليت هواپيما و قطار رزرو مي‌كنند، در تلاشند تا از خطر دستيابي تبهكاران به اطلاعات شخصي افراد جلوگيري به عمل اورند. يكي از مهمترين سيستمهايي كه در اين زمينه مورد استفاده صنايع است سيستم آر اس آ نام دارد كه متكي به اعداد اول است. اعداد اول مورد استفاده در اين سيستم در حدود ‪ ۱۰۰رقمي هستند. سيستم آر اس آ در بسياري از سيستمهاي كامپيوتري مورد استفاده قرار دارد و در پروتكل اصلي براي ارتباطات امن اينرتنتي نيز گنجانده شده است و بسياري از دولتها، شركتهاي بزرگ و دانشگاهها از آن استفاده مي‌كنند. جواز استفاده از اين سيستم براي بيش از ‪ ۷۰۰شركت صادر شده و بيش از نيم ميليون كپي از آن در سطح جهاني مورد استفاده قرار دارد. براي شكستن رمز آر اس آ بايد مضراب اعداد ‪ ۲۰۰رقمي يا بزرگتر را پيدا كنيد. هرچند فاكتور گيري يا عامل مشترك گيري از اعداد سخت تر از آزمودن اول بودن آنهاست اما اين دو مساله با يكديگر ارتباط دارند و رياضي دانان از يك ابزار براي حل هر دو مساله استفاده مي‌كنند. همه اين جنبه‌ها بر اهميت كشف هر روشي براي محاسبه اعداد اول مي‌افزايد. در سال ‪ ۱۹۹۵زماني كه پيتر شور از آزمايشگاههاي بل اثبات كرد كه مجموعه- اي از آلگوريتمهاي تواني براي فاكتور گيري وجود دارد، لرزه بر اندام بسياري افتاد. اما خوشبختانه براي استفاده از اين آلگوريتم به كامپيوترهاي كوانتومي نياز است كه هنوز در مرحله تكميل تئوريك قرار دارند. اكنون روش تازه آگراوال و دوستانش دوباره سيستم آر اس آ را در معرض خطر قرار داده است. آگراوال اكنون اين نكته را نشان داده كه مي‌توان با كامپيوتر هاي معمولي، اعداد را از حيث اول بودن مورد آزمايش قرار داد. سوالي كه اينك مطرح شده آن است كه آيا الگوريتم مشابهي كه به صورت تواني كار كند براي فاكتورگيري اعداد غيراول نيز موجود است؟ پاسخ اغلب متخصصان به اين پرسش منفي است اما متاسفانه اين متخصصان همين حرف را در مورد آلگوريتم تواني مربوط به اعداد اول نيز مي‌زدند در حال حاضر رياضي دانان واقعا مطمئن نيستند كه كه آيا چنين آلگوريتمي يافت مي‌شود يا نه. اگر پاسخ مثبت باشد انگاه سيستم آر اس آ ديگر از امنيت برخوردار نيست. يك عامل تخفيف‌دهنده نگرانيها آن است كه از سيستم آر اس آ براي انتقال همه محتواي پيامها استفاده نمي‌شود بلكه صرفا "كليد هاي رمز" را كه اندازه شان كوچك است با اين سيستم انتقال مي‌دهند. براي انتقال بقيه پيام از روشهاي رمزنگاري متعارف بهره گرفته مي‌شود. به اين ترتيب جاسوسان در صدد برخواهند آمد كه به كليد رمزها دست يابند. به اين ترتيب درسي كه از موفقيت گروه سه نفره هندي گرفته مي‌شود آن است كه بايد با احتياط در ارسال پيامها عمل كرد. اگر اكتشافات مشابه آنچه گروه كانپور بدست اورده تكرار شود، انگاه ديگر نمي‌توان به ايمن بودن ارتباطاتي كه روي اينترنت برقرار مي‌شود اطمينان داشت.

 

مطالب تکمیلی :
     اعداد اول يكي از اساسي ترين چيز ها در رياضيات هستند. آنها پس از قرن ها مطالعه هنوز داراي رموز بسياري اند. ساختار مجموعه اعداد اول هنوز به درستي شناخته شده نيست. توضيح چگونگي توزيع آنها در قلب رياضيات قرار دارد و نقش هاي مهمي براي مثال در زمينه رمز گشايي دارند. براي مطالعه در مورد اعداد اول محققين چيزي كه به نام لنز رياضياتي معروف است را توسعه داده اند كه به آنها اجازه مي دهد تا در منظره هاي خاصي از اعداد اول فوكوس كنند.
     به تازگي دو رياضيدان به نام هاي جان فريدلندر از دانشگاه تورونتو و هنريك ايوانيچ از دانشگاه روتگرز نيوجرسي دنياي رياضيات را با خبر ساختن لنز جديدي براي پالودن هرچه بيشتر اعداد اول متحير ساختند. كار آنها مخصوصا از اين لحاظ شگفت انگيز است كه مسئله مهمي در رياضيات كه پيشرفتي در آن در صد سال اخير رخ نداده را حل مي كند.
     اهميت كار فريدلندر و ايوانيچ را در تاريخچه آن مي توان ديد. اقليدس اولين كسي بود كه نشان داد بينهايت عدد اول در بين اعداد صحيح وجود دارد. مدت ها بعد در سال 1837 گوستاو لجن ديريكله نشان داد كه اگر aو dنسبت به هم اول باشند در تصاعد حسابي a, a+d, a+2d, a+3d,…بي نهايت عدد اول وجود دارد.
با توجه به كارهاي ديريكله دو سؤال به ذهن مي رسد:
"در چه دنباله هاي ديگري از اعداد مي توان بي نهايت عدد اول يافت؟"
كسي مي تواند چند وقت به چند وقت ظاهر شدن  اعداد اول در اين دنباله ها را تعيين كند؟"

     تكنيك هايي كه در دهه 1890 اختراع شد به رياضيدانان اجازه مي داد تا تقريب خوبي در مورد چند وقت به چند وقت ظاهر شدن اعداد اول در اعداد صحيح و همچنين دنباله هايي كه ديريكله بررسي نمود بدست آورند.اين تكنيك ها را مي توان تغيير داد تا نشان دهيم كه بي نهايت عدد اول در هر نوع دنباله اي از اعداد وجود دارد براي مثال در دنباله اعداد به فرم a2+21b2  و دنباله هاي مشابه. ولي به هرحال همه دنباله هايي كه به اين روش ها بررسي مي شد يك خاصيت مشترك داشتند آنها تنك نبوده و شامل تعداد بسيار زيادي عدد غير اول بودند بنابر اين به عنوان لنز نمي توانستند فوكوس خيلي دقيقي را فراهم كنند.
     در صد سال گذشته پيشرفت قابل توجهي در اين رابطه رخ نداد. كسي نتوانست دنباله تنكي از اعداد را معرفي كند و ثابت كند كه شامل بي نهايت عدد اول است.
     مطالب ذكر شده دليل شگفت آور بودن اين كار جديد است. كاري كه فريدلندر و ايوانيچ انجام دادند اين بود كه ثابت نمودند بي نهايت عدد اول در دنباله اعداد به فرم a2+b4 وجود دارد. اين مجموعه از اعداد بسيار تنك تر از مجموعه هايي است كه تا كنون ثابت شده شامل بي نهايت عدد اول اند. براي مثال در اعداد بين 1 تا 1012 تقريبا 27 ميليارد عدد متفاوت به فرم a2+b2 وجود دارد ولي كمتر از يك ميليارد عدد به فرم a2+b4 در بين اين اعداد است. علاوه بر اين فريدلندر و ايوانيچ مي توانند به طور دقيق چند وقت به چند وقت ظاهر شدن اعداد اول را در دنباله شان تعيين كنند.
     موفقيت آنها به تازگي در" اقدامات آكادمي ملي علوم" منتشر شده است و حيرت متخصصين ديگر كه تصور مي كردند اين پيشرفت بسياردور از دسترس است را برانگيخته. شرح كامل دست آورد آنها براي چاپ در معتبرترين مجلات رياضي پذيرفته شده است. 

 

قضیه :

 

فرض كنيد كه همه اعداد اول موجود متناهي و به ترتيب زير باشند:

          p12<...r

قرار ميدهيم P=p1p2...pr>2. اگر عدد صحيح P-1 داراي عامل مشترك pi با P باشد آنگاه pi عامل P-(P-1)=1 است كه ناممكن مي باشد. لذا P-1 عامل اولي به غير از آنچه ذكر شد دارد كه تناقضي آشكار با خط دوم اثبات است.

  اثبات فوق از نامتناهي بودن مجموعه اعداد اول در سال 1878 توسط كومر ارائه شد. اثباتي بسيار زيبا كه در عين سادگي نكات جالبي را دربر دارد.
رياضيات يعني زيبايي، سادگي، تنوع. رياضيات واقعا زيباست. زيبايي رياضيات را مطمئنا با ديدن چندتا فرمول نميشه استنباط كرد

 

قضیه ۲ :

تذکر: sqrt x به معني راديكال x مي باشد.
چند نكته:
1) در هر ميدان عددي حلقه اعداد صحيح جبري يك حوزه ددكيند است. يعني هر ايده آل به شكل يگانه مي تواند به صورت حاصلضرب ايده آلهاي اول نوشته شود.
2) در هر ميدان عددي تنها تعدادي متناهي ايده آلهاي اول موجودند كه يك عدد اول مفروض p را عاد مي كنند.
3) يك حوزه ددكيند كه تنها تعدادي متناهي ايده آل اول دارد يك حوزه ايده آل اصلي است و بدين ترتيب هر عضو را به تقريب شريك بودن (دو عضو را شريك گوييم هرگاه يكي حاصلضرب ديگري در يك يكال باشد) مي توان به نحوي يكتا به صورت حاصلضرب عوامل اول نوشت.
ميدان تمام اعداد به شكل a+b*sqrt -5 را كه در آن a و b اعداد گويا هستند در نظر بگيريد. حلقه اعداد صحيح جبري در اين ميدان شامل اعداد به شكل a+b*sqrt -5 است كه در آن a‌ و b اعداد صحيح معمولي هستند. به سادگي مي توان ديد كه 2 و 3 و sqrt -5 +1 و 1+sqrt -5 - در اين حلقه اعضاي اول هستند زيرا كه نمي توانند به عواملي كه اعداد صحيح جبري هستند تجزيه شوند مگر آنكه يكي از عوامل يكال 1 يا -1 باشد. همچنين

(1+sqrt -5)(1-sqrt -5)=2*3

دو تجزيه به عوامل اول براي عدد 6 هستند كه به تقريب شريك بودن يكي نيستند. بنابراين حلقه مزبور يك حوزه يكتاي تجزيه نيست و ينابراين يك حوزه ايده آل اصلي نيز نيست. بنابراين طبق سومين خاصيت فوق الذكر بايد تعداد متناهي ايده آل اول داشته باشد و در نتيجه بنابه دومين خاصيت تعدادي نامتناهي عدد اول موجود است.

اثبات فوق، اثباتي براساس جبر جابجايي است كه در سال 1980 توسط واشنگتن ارائه گرديد .

 

 

 گونه های دیگر :

به اعدادی اعداد اول می‌گویند که جزو اعداد طبیعی بوده و فقط باقیمانده تقسیم آنها به خودشان و عدد ۱ برابر صفر شود. تنها استثنای این اعداد عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی گیرد.اگرعددی طبیعی وبزرگتر از ۱ اول نباشد مرکب است. اعداد اول بزرگتر از ۱۰ وعدد یکانشان فقط اعداد ۱، ۳، ۷، ۹ می‌تواند باشد.

این اعداد جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها به دست نیاورده است.

سری اعداد اول به این صورت شروع می‌شود: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹ ...

قضیه 1: تعداد اعداد اول نامتناهی است.

برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات می کنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد . حال عدد M را که برابر حاصلضرب این اعداد به علاوه ی 1 را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم علیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است. (البته شایان ذکر است که این قضیه اثبات های گوناگونی دارد که ما ساده ترین آنها را انتخاب کردیم اگر مایلید می توانید اثبات های دیگر آن را بیاورید.)

قضیه 2:قضیه ی اساسی حساب: هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 را به شکل حاصلضرب اعدادی اول نوشت.

قضیه 3: قضیه چپیشف:اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از 2 باشد, حتما" بین n و 2n عدد اولی وجود دارد. (شخصا" توصیه میکنم از اثبات کردن این قضیه خودداری کنید)

بزرگ ترین عدد اول :

نام يك دانشجوي ۲۶ ساله با كشف بزرگ ترين عدد اول شناخته شده، در تاريخ رياضيات ماندگار شد. عدد اولي كه اخيراً كشف شد، ۶۳۲۰۴۳۰ رقمي است. براي پيدا كردن اين عدد بسيار بزرگ بيش از دو سال زمان صرف شد و ۲۰۰ هزار كامپيوتر متصل به شبكه اينترنت براي پيدا كردن آن به كار گرفته شدند. مايكل شافر (Michael Shafer) كه دانشجوي مهندسي شيمي در دانشگاه ميشيگان است از كامپيوتر اداره اش براي پردازش هر چه سريع تر اين برنامه استفاده كرد. اين پروژه كه با كمك بيش از ۶۰ هزار داوطلب از سراسر دنيا به انجام رسيد، جست وجو براي يافتن بزرگ ترين عدد اول (GIMPS) نام گرفت.

مايكل شافر درباره كشف عدد جديد مي گويد: هنگام خروج از جلسه اي كه با مشاورم داشتم، متوجه شدم كه كامپيوتر عدد اول جديد را پيدا كرده است. پس از آن بي درنگ همسرم و دوستاني را كه درگير پروژه بودند، با خبر كردم تا در شادي اين خبر بزرگ سهيم شوند. اعداد اول، عددهاي مثبت و درستي هستند كه فقط بر خودشان و عدد يك بخش پذير هستند. نوع خاصي از اعداد اول وجود دارند كه از رابطه ۱-۲P پيروي مي كنند در اين رابطه خود P يك عدد اول ديگر است. با استفاده از اين رابطه، عدد اول جديد را مي توان به صورت ۱- ۲۲۰۹۹۶۱۱ نوشت. از اين نوع خاص اعداد اول، تعداد كمي شناخته شده است و در واقع عدد اول جديد چهلمين عدد اول از اين نوع بود. به اين نوع خاص از اعداد اول، عددهاي اول مارسن (Mersenne) مي گويند.

اعداد اول Mersenne براي اولين بار توسط اقليدس در ۳۵۰ سال قبل از ميلاد معرفي شدند. اين اعداد در واقع به عنوان مركز انشعاب رياضياتي كه امروزه به عنوان تئوري اعداد شناخته مي شوند، پذيرفته شده اند. ۱۷ قرن پس از اقليدس يك راهب فرانسوي براي اولين بار حدس زد كه اعداد اول را مي توان به صورت (۱-۲P) نوشت، طوري كه خود P يك عدد اول باشد، پس از آن زمان اين اعداد دوباره شهرت خاصي پيدا كردند. عددهاي اول بلوك هاي سازنده تمام اعداد مثبت هستند. اين اعداد كاربرد عملي هم دارند. به عنوان مثال، يك راه مبادله رمزها در اينترنت به گونه اي كه استراق ممكن نباشد، استفاده از اعداد اول است. با وجود اهميت و علاقه به اين اعداد، دانشمندان هنوز هم چگونگي توزيع اعداد اول را درك نكرده اند و همين موضوع باعث شده است كه شناخت اعداد اول بزرگ، مشكل شود.

ماركوس سائوتوي (Marcus du Sautoy) رياضيدان در دانشگاه آكسفورد و مولف موسيقي اعداد اول مي گويد: كشف عدد اول جديد هر چند غيرمنتظره بود اما معلومات ما را درباره چگونگي توزيع اعداد اول افزايش داد. با اين حال چگونگي توزيع عدد هاي اول در ميان ديگر اعداد درست هنوز هم لاينحل باقي مانده است. اين پروژه برآورد خيلي خوبي از توان محاسباتي كامپيوتر هاي موجود بود. پروژه علاوه بر اهميت آن جالب و سرگرم كننده نيز بود.هر كس گوشه كوچكي از جهان اعداد اول را براي كاوش و تحقيق انتخاب مي كند و رسيدن به نتيجه دلخواه در اين زمينه تا حدي شبيه به بخت  آزمايي است.

پروژه GIMPS يك كامپيوتر مركزي (Server) و نرم افزاري رايگان داشت كه شركت كنندگان در پروژه با استفاده از آن نرم افزار فعاليت هايشان را هماهنگ مي كردند. هر كدام از كامپيوتر هاي شركت كننده در پروژه عدد خاصي را به عنوان كانديداي عدد اول جديد امتحان مي كرد. بعضي از شركت كنندگان در پروژه علاوه بر حس كنجكاوي رياضي، قصد داشتند سخت افزار كامپيوتر خود را با اين روش محك بزنند. اما عده اي ديگر فقط به اين خاطر كه نام آنها در تاريخ ثبت شود در اين پروژه شركت كرده بودند. علاوه بر اين موارد يك انگيزه مالي هم براي شركت كنندگان در پروژه وجود داشت، زيرا بنيادElectronic Frontier Foundation كه يك موسسه غيرانتفاعي است جايزه اي ۱۰۰ هزار دلاري براي كشف اولين عدد اول ۱۰ ميليون رقمي تعيين كرده است.

اسكات كورفسكي (Scott Kurowski) كه شركت او كامپيوتر Server پروژه GIMPS را مديريت مي كرد مي گويد: افراد بسياري از مليت هاي گوناگون و سنين مختلف و انواع مشاغل در اين پروژه شركت كردند. اعداد اول بسيار بيشتري از آنچه كه تا به حال شناخته شده است، وجود دارند و مي توان آنها را به روش مشابه و با استفاده از كامپيوترهاي متصل به اينترنت، كشف كرد.


 

بزرگترین عدد اول :

یک تیم از دانشگاه ایالت میسوری به رهبری استیون بوون و پروفسور کارتیس کوپر ریاضی دانان این عدد را در نیمه دسامبر پس از برنامه ریزی 700 رایانه در چند سال گذشته ، به دست آورند .عددی که به تازگی پیدا شده 1/9 میلیون رقم طول دارد . این عدد دو به توان 30402457 منهای یک است .

 

 

برگرفته از : http://www.kamyararyana.blogfa.com